 Вера
БАРИНОВА, 10-й кл,
Андрей КАЛМЫКОВ, 9-й кл,
Пущинская экспериментальная школа,
г. Пущино, Московская обл.
Научный руководитель – В.Л. Калмыков,
Институт биофизики клетки РАН
Фракталы
Использование фрактальной графики на
уроках биологии
В математике существует понятие
фрактала – геометрического образования,
представляющего собой систему самоподобных
фигур, расположенных относительно друг друга
закономерным образом. Как форма и размер
отдельных элементов, так и их взаимное
расположение может быть описано математической
формулой.
Рис. 1 а.
Многие природные объекты также
самоподобны и состоят из повторяющихся
элементов разных размеров. Очевидные примеры –
дерево, куст, колония кораллов. Еще более
наглядным примером может служить соцветие
«сложный зонтик» – «зонтик», состоящий, в свою
очередь, из маленьких зонтиков. На рис. 1,а
показано соцветие растения из семейства
зонтичных, а на рис. 1,б – его схема,
построенная с использованием фрактальной
графики (файл сценария 1.mrk – см. ниже).
Рис. 1 б.
Можно предположить, что форма и
структура любых природных объектов, в том числе и
биологических, определяется всеобщими
математическими закономерностями. В частности,
существует гипотеза, согласно которой такие
закономерности лежат в основе процессов
морфогенеза растений*.
Фрактальная графика может применяться
во многих областях естественных наук. Фракталы
помогают геофизикам определять и предсказывать
форму и характер растрескиваний земной коры и
особенности распределения в ее слоях различных
химических элементов, а астрономам –
моделировать формирование планетных систем и
галактик, характер рассеивания лучей и
космической пыли.
Для выполнения расчетов, связанных с
фрактальной геометрией, и графического
представления получающихся результатов
существует множество различных компьютерных
программ. В их основе лежит возможность ввода
базовой формулы, отражающей предполагаемый тип
элемента фрактала и ее последующих изменений,
позволяющих трансформировать фигуры – элементы
фрактала: увеличивать их или уменьшать,
поворачивать относительно центра рисунка или
начальной точки и, главное, задавать количество
вложений, т.е. число шагов программы.
На нашем факультативе «Лаборатория
компьютерной бионики» мы используем фракталы
для иллюстрации и моделирования биологических
объектов, применяя для этого относительно
небольшую бесплатно распространяемую программу
Mkokh. Интерфейс этой программы построен так, что
основные элементы задаваемых формул – точка
начала отрезка, его длина, угол наклона и толщина,
количество «дочерних» отрезков – изначально
структурированы, что исключает грубые ошибки при
обучении работе с ней. На основе этих элементов
пользователь строит формулу графика, который он
хочет получить.
Команды управления и кодировка
действий по построению графика просты. Команда
«шаг вперед» обозначается прописной латинской
буквой «F», «повернуть направо» – значком «+»,
«повернуть налево» – значком «–» («минус»),
сделать шаг вперед без прорисовки линии,
«прыжок» – прописной латинской буквой «B».
Величина шага и угол поворота при каждом шаге
задаются отдельно и остаются для каждого
отдельного графика постоянными.
Совокупность (строки) команд и
представляет собой сценарий построения линии.
Например, реализация формулы (параметр Axiom) F++F++F
при величине параметра «Начальный угол», равном
единице, заданном угле поворота (параметр «XY
угол») 1/3 и числе шагов «0» приведет к построению
равностороннего треугольника, формулы F++F++F++F при
угле поворота 1/4 – к построению квадрата, F++F++F++F++F,
угол поворота 1/5 – пятиугольника и т.д.
При задании дополнительных
(«вложенных») элементов и увеличении числа шагов
подстановок получается своебразная «матрешка»
из формул, график которой будет представлять
собой картинку разной степени сложности и
красивости (снежинка, куст, цветок...).
Разумеется, дать подробное
руководство по работе с программой в этой статье
невозможно. Сама программа (в виде
архивированного файла-дистрибутива mkokh.zip
объемом 1,45 мб), сценарии для реализации
упомянутых далее графиков (файлы в формате *.mrk) и
инструкции по работе с программой, взятые с сайта
www.rechka.ru , размещены в архиве «Фракталы» на сайте «Биологии».
Кроме того, можно порекомендовать
посетить страничку, посвященную геометрическим
фракталам (или L-системам) на сайте rechka.ru: http://www.rechka.ru/lsys/index.html.
Там вы найдете более подробное описание того,
что представляет собой фрактальная графика,
примеры красивых графиков и многое другое.
Освоить программу можно на уроках
информатики, а теоретические принципы
фрактальной графики – на уроках математики или
математическом факультативе.
Для чего же может быть использована
фрактальная графика на уроках биологии? Можно
просто рисовать различные биологические
объекты, иллюстрируя самоподобие составляющих
их элементов. А можно (заранее представляя себе
изменения изображения, которые будут вызваны
изменением формулы) демонстрировать протекание
некоторых биологических процессов во времени.
Надо заметить, что программа Mkokh может нарисовать
график сразу, а может осуществлять его пошаговое
выполнение – тогда новый элемент (например,
очередная ветка «растущего» куста) появляется на
экране только после очередного нажатия кнопки.
Это удобно для иллюстрации последовательных
стадий процесса (например, роста и ветвления
растения).
Рис. 2.
|
Рис. 3.
|
Рис. 4.
|
 Рис. 5.
|
Рис. 6.
|
Возьмем для примера формулу ветви,
результат реализации которой показан на рис. 2,а
(файл 2_1.mrk на нашей страничке в Интернете). Путем
увеличения количества шагов программы (числа
вложенных циклов подстановок) можно заставить ее
«дать побеги» (рис. 2,б, рис. 3 – файлы
сценариев, 2_2.mrk и 3.mrk соответственно).
Изменяя формулу, мы можем включать в
график новые элементы – например, на нашей
«ветке» вырастут листья. В итоге мы получим уже
вполне реальное изображение побега (рис. 4, файл
сценария 4.mrk). Меняя формулу «листа», мы можем
получить не только сердцевидную, но и вытянутую,
и рассеченную пластинку, и «сложный лист». На рис.
5 показана модель кленового листа, построенного с
помощью фрактальной графики (сценарий 5.mrk).
Добавление еще одного элемента –
«цветка», – позволит нашему «побегу» «зацвести»
(рис. 6, файл сценария 6.mrk).
Путем подстановки в формулу вместо
элемента «отрезок» элемента «скачок» (перенос
следующей точки графика без рисования линии,
соединяющей ее с предыдущей) – структура
программы, как уже было сказано, предусматривает
и такое действие – можно добиться появления на
графике на очередном шаге программы разрывов,
иллюстрируя процесс вегетативного размножения
– как, например, при отмирании столонов между
«укореняющимися кустами земляники» (рис. 7, 1 –
7, 4).
При этом, как уже было сказано, графики
по всем формулам программы можно рисовать в
пошаговом режиме, что позволяет демонстрировать
изменения, происходящие с «растением» (можно,
конечно, нарисовать и любой другой организм), по
мере объясняющего рассказа.
Помимо «саморазвивающихся» картинок
для иллюстрации строения и развития организмов
программу Mkokh можно использовать на уроках
биологии для моделирования (иллюстрации)
процессов, происходящих при изменении
генетической информации. Ведь структура и
аргументы формул в программе также «отвечают» за
вид графика, как ДНК – за строение и свойства
организма.
Замена одних числовых аргументов на
другие, потеря элементов формулы, их
дублирование или перемещение из одной части
формулы в другую вполне соответствует различным
типам мутаций, известных в биологии. Только в
роли «мутагенного фактора» в данном случае
выступает пользователь программы,
Так, рис. 8, а иллюстрирует
структуру цветущего побега. Заменив часть
отрезков на «стебле» и «ветках» на «листья», мы
получим ту же ветвь, но с «сидячими» листьями
(рис. 8, б). Можно получить и модификации
стебля:ползучий (рис. 8, в), розетка
(укороченный побег – рис. 8, г), лиана (рис. 8, д).
Рис. 7.
Работа с программой Mkokh
позволяет проиллюстрировать и понятие
«летальных мутаций» – при нарушении базовых
правил фрактальной графики изображение не
формируется вовсе.
Существует также много формул,
описывающих визуально одинаковые траектории. Их
можно рассматривать для иллюстрации
конвергенции – внешнего сходства, возникающего
на различной генетической основе.
Интересно, что в процессе работы с
программой мы столкнулись и со «случайной
мутацией». При копировании файла с формулой,
изображающей вольвокс (файл 9_1.mrk), на работающем
со сбоями компьютере возникла ошибка. Большая
часть информации, однако, сохранилась (файл 9_2.mrk).
К нашему удивлению, программа смогла построить
на ее основе график – разумеется, измененный. В
итоге сам собой, безо всякого нашего
вмешательства, возник «вольвокс-мутант» – рис. 9.
Рис. 9.
Наконец, при помощи фрактальной
графики можно создавать и изображения объектов,
которые, на первый взгляд, лишены важнейшего
внешнего атрибута фракталов – самоподобия
составляющих их элементов (в случае, если
структурный элемент стремится к точке). Это –
прекрасная иллюстрация того, что сколь угодно
сложный и вроде бы неалгоритмизируемый процесс
может быть описан математически (рис. 10).
Рис. 10.
* Подробнее об использовании теории
фракталов в биологии см. статью Ю.В. Чайковского
«Эволюция», часть 6, «Биология», № 28/1998.
|
